Question

三角形外接圆半径公式推导过程是什么？

Answer 1

1、外接圆半径R：

2、直角三角形外接圆半径=1/2×斜边。

外接圆半径是三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离，与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

定理意义：

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式，由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

在解三角形中，有以下的应用领域：

已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

Answer 2

当一个三角形的三个顶点都在同一圆上时，该圆被称为三角形的外接圆。外接圆的圆心位于三角形的外部，并且与三角形的三边都相切。外接圆半径公式可以通过三角形的边长推导得出。
设三角形的三边长分别为a、b、c，外接圆的半径为R。我们可以按照以下步骤推导出外接圆半径的公式：
步骤1：求三角形面积
首先，我们需要求出三角形的面积。根据海伦公式（Heron's formula），三角形的面积可以表示为：
s = (a + b + c) / 2（其中s为半周长）
面积S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
步骤2：求外接圆半径
外接圆的面积可以表示为三角形面积的两倍，也就是2S。另外，外接圆的面积还可以表示为圆周率π乘以外接圆半径R的平方，即πR^2。
所以，我们有以下等式：
2S = πR^2
将步骤1中的面积S代入上式，得到：
2 * √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) = πR^2
步骤3：整理得到外接圆半径公式
将上式两边同时除以π，然后取平方根，得到外接圆半径R的表达式：
R = √((s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / π)
以上就是外接圆半径公式的推导过程。根据这个公式，我们可以计算任意三角形的外接圆半径。在实际计算中，可以先根据三角形的边长计算半周长s，然后带入公式进行计算。

Answer 3

三角形外接圆（Circumcircle）是指可以完全包围三角形的圆。外接圆的圆心位于三角形的三个顶点的垂直平分线的交点上。
下面是推导三角形外接圆半径公式的过程：
设三角形的顶点分别为A、B、C，外接圆的圆心为O，圆的半径为R。
首先，我们可以观察到，O点是由三个顶点的垂直平分线的交点决定的。设垂直平分线的交点分别为D、E、F，即AD、BE、CF是三角形ABC的垂直平分线。
由于O点位于DE的中垂线上，因此DO = EO。同理，EO = FO。
我们可以得到以下两个等式：
DO = EO （1）
EO = FO （2）
然后，我们来看三角形DOE。由于DO = EO，所以DOE是一个等边三角形。
设DO（或EO）的长度为x，从三角形DOE中可以得到：
DE = 2x （3）。
再来看三角形ABC。根据正弦定理，我们可以得到：
AB/sin(C) = 2R （4）
AC/sin(B) = 2R （5）
BC/sin(A) = 2R （6）
接下来，我们将令sin(A) = a，sin(B) = b，sin(C) = c。将（4）、（5）、（6）带入到（4）、（5）、（6），我们可以得到：
AB/a = 2R （7）
AC/b = 2R （8）
BC/c = 2R （9）
由（7）、（8）、（9）可以得出：
AB = 2Ra （10）
AC = 2Rb （11）
BC = 2Rc （12）
由（10）、（11）、（12），我们可以得到三角形的三边长度表示为：
AB = DE = 2Ra （13）
AC = EF = 2Rb （14）
BC = DF = 2Rc （15）
根据（13）和（15），我们可以找到一个等式：
DE + DF = 2Ra + 2Rc = AC + BC （16）
由于DE + DF = AC + BC，根据三角形的垂直平分线特性，我们可以得出：
ΔOEF = ΔABC （17）
其中，Δ表示面积。
根据（17）可以得到：
[OEF]/2 = [ABC]/2 （18）
由于OEF是半径为R，底边为AB的三角形，可以得出：
[OEF]/2 = R * (1/2) * AB = Ra （19）
同理，由于ABC是一个三角形，可以得到：
[ABC] = (1/2) * AB * BC * sin(A) = R * Rb * 2Rc * a = 2R²abcr （20）
将（19）和（20）带入到（18）中，我们可以得到：
Ra = R²abcr （21）
最后，将（21）进行简化和变换，可以得到三角形外接圆半径的公式：
R = (abc) / (4∆)
其中，a、b、c为三角形的边长，∆为三角形的面积。
因此，我们推导出了三角形外接圆半径的公式

Answer 4

要推导三角形外接圆半径的公式，首先需要了解什么是外接圆。
外接圆是指能够通过三角形的三个顶点构成的圆。在外接圆中，三角形的每条边都是圆的切线，且三角形的内角对应于圆心的弧度。
三角形外接圆半径的公式可以通过利用三角形的边长和内角来推导。
假设给定一个三角形ABC，它的边长分别为a、b、c，内角分别为A、B、C。
我们可以发现，外接圆的半径R等于任意一条边与其对边角度的正弦值的倒数。也就是说，
R = a / (2 * sin(A)) = b / (2 * sin(B)) = c / (2 * sin(C))
这个公式可以通过几何证明或三角函数的性质来推导。
其中，a、b、c是三角形的边长，A、B、C是三角形的内角。
这个公式可以用来计算任意三角形的外接圆半径，只需知道相应的边长和内角即可。