设f(x)满足 ∫0到x tf(x-t)dt=sinx+kx ,求k和f(x)
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∫（0到x） tf(x-t)dt=sinx+kx
令r=x-t,则dt=-dr,于是
∫（0到x） tf(x-t)dt
=∫（x到0） (x-r)f(r)(-dr)
=∫（0到x）[ xf(r)-rf(r)]dr
=x∫（0到x）f(r)dr-∫（0到x）rf(r)dr=sinx+kx
两边对x求导,得
∫（0到x）f(r)dr+xf(x)-xf(x)=∫（0到x）f(r)dr=cosx+k
当x=0时,有0=cos0+k=1+k,得k=-1
于是有∫（0到x）f(r)dr=cosx-1
两边再次对x求导,得
f(x)=-sinx
故k=-1,f(x)=-sinx
令r=x-t,则dt=-dr,于是
∫（0到x） tf(x-t)dt
=∫（x到0） (x-r)f(r)(-dr)
=∫（0到x）[ xf(r)-rf(r)]dr
=x∫（0到x）f(r)dr-∫（0到x）rf(r)dr=sinx+kx
两边对x求导,得
∫（0到x）f(r)dr+xf(x)-xf(x)=∫（0到x）f(r)dr=cosx+k
当x=0时,有0=cos0+k=1+k,得k=-1
于是有∫（0到x）f(r)dr=cosx-1
两边再次对x求导,得
f(x)=-sinx
故k=-1,f(x)=-sinx
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