Question

高三不等式选讲

a+b+c=3 a,b,c都大于0

求lg(a+2b)+2lg(a+2c)的最小值

好像是用柯西不等式 老师以前讲了忘记了

Answer 1

解：
因为
lg(a+2b)+2lg(a+2c)
=lg[(a+2b)(a+2c)(a+2c)]
=lg{(1/2)[2(a+2b)(a+2c)(a+2c)]}
我们注意到：
[2(a+2b)](a+2c)(a+2c)]<={[2(a+2b)+(a+2c)+(a+2c)]/3}^3
=[4(a+b+c)/3]^3=(4*3/3)^3=64，当仅当2(a+2b)=(a+2c)=(a+2c)取等号。
于是
lg{(1/2)[2(a+2b)(a+2c)(a+2c)]}<=lg[(1/2)*64]=lg32=lg2^4=4lg2
所以有lg(a+2b)+2lg(a+2c)的最大值为4lg2。