Question

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明： （1）若|A|=0，则|A*|=0; (2)|A*|=|A|^n-1

Answer 1

||(1)证：

如果r(A)<n-1，A的所有n-1阶子式行列式都为0

由伴随阵的定义，A*=0

∴|A*|=0

如果r(A)=n-1

A(A*)=|A|E=0

A*的列向量为Ax=0的解，根据线性方程组理论

r(A)+r(A*)≤n

∴r(A*)≤1

∴|A*|=0

结论得证！

(2)如果|A|=0，利用(1)的结论，|A*|=0

∴|A*|=|A|^(n-1)

如果|A|≠0，

∵A(A*)=|A|E

∴|A(A*)|=||A|E|【注意|A|是常数，计算行列式提出来就是|A|^n】

即：|A||A*|=|A|^n

∴|A*|=|A|^(n-1)

扩展资料：

定理2 设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

定理3 令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。

参考资料来源：百度百科-矩阵行列式