Question

什么是“无穷大量”？

Answer 1

定义1：
如果对于任意给定的正数m，都存在δ>0(或正数x)，
使当0<|x-x0
|<δ<(或|x|>x)时，
“恒有”|f(x)|
>
m，则称f(x)是x→x0(或x—∞)时的“无穷大量”
.定义2：
如果对于任意给定的正数m，都存在函数定义域中的一点x*
，使|f(x*)|
≥m，则称，f(x)是“无界变量”．
由上述定义可知，如果f(x)是x→x0(或x—∞)时的无穷大量，则f(x)必是无界变量，
反过来，无界变量却不一定是无穷大量.
举例说明：
例如1：数列
1，
1/2，
3，
1/4，
…………
，2n一1，
1/(2n)…………
是无界数列，但却不是无穷大量．
无穷大量要求对任给正数m，数列自某项之后将
均
满足|
xn
|
>
m．
显然，上面数列中的偶数项不能满足这一要求．-----------这个才是重点
例如2：变量
x
sinx
是无界变量，这是因为对于任意的正数m，都存在
x=π/2
*(2[m取整]+1)＝0.5π
+
[m取整]π，
使|
x
*
sin
(x)
|＝[m取整]十π/2
>
m
但是，xsinx不是x的任何变化过程中的无穷大量．------------注意是“任何变化过程中”
无论对于某一点x0，因为对任意的x0，x→x0时，极限总不会→∞吧！
也无论是对于x→∞，因为对任意的正数x，都存在一些特殊点x
=
nπ>
x
(只要n
>
x/π)，使得总是有f(x)=xsinx=0．
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总结
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无穷大(量)是指在变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势，其绝对值无限增大，要求适合给定不等式0
<|
|<δ
或
|x|
>
m
的“一切”x都要满足
f(x)大于
任给的正数m；而无界函数定义中的不等式f(x)大于m，只要求在
|
|中
有一个x满足即可，并不要所有的i都满足．
它们之间的联系是：如果f(x)是无穷大，则f(x)必定无界．反之f(x)无界时，却不一定是无穷大------这家伙要求很高的．