Question

已知函数f(x)=ax²+3在定义域[a+1,2a]上是偶函数,为什么(a+1)+2a=0？

Answer 1

因为函数$f(x)=ax^2+3$在定义域$[a+1,2a]$上是偶函数，根据偶函数的性质可知：
$$f(-x)=f(x)$$
将$x$替换为$-x$，得到：
$$f(-x)=a(-x)^2+3=ax^2+3=f(x)$$
即：
$$a(-x)^2+3=ax^2+3$$
两边同时除以3，得到：
$$\frac{a(-x)^2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{ax^2}{3}+\frac{1}{3}$$
化简得：
$$\frac{a}{3}(x^2-(-x)^2)=0$$
即：
$$\frac{a}{3}(x^2-x^2)=0$$
因此，当$x\in [a+1,2a]$时，上式恒成立，即在定义域内函数的图像关于$y$轴对称。因此，定义域的中点必须为$y$轴的交点，即：
$$\frac{(a+1)+2a}{2}=0$$
解得：
$$a+1+2a=0$$
即：
$$3a+1=0$$
因此：
$$a=-\frac{1}{3}$$
这就是为什么$(a+1)+2a=0$。

Answer 2

根据偶函数的定义可知偶函数有以下性质：
（1）如果知道函数表达式，对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足f(x)=f(-x)，如y=x*x；y=cosx。
（2）如果知道图像，偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称。
（3）偶函数的定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要非充分条件。
然后根据第三个性质，我们可以知道f(x)的定义域[a+1,2a]是关于原点O对称的，那么a+1=-2a。
所以(a+1)+2a=0

Answer 3

偶函数必然定义域是关于原点对称，所以端点的两个值是相反数，所以（a+1）+2a=0

Answer 4

偶函数的定义是：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。
如果f(x)=ax²+3是偶函数，那么f(x)和f(-x)相等，即：
f(x)=f(-x)
ax²+3=a(-x)²+3
ax²=a(-x)²
x²=(-x)²
这个等式对任意的x都成立，所以(a+1)+2a=0不是偶函数的必要条件，而是一个无关的方程。

Answer 5

因为函数f(x)=ax²+3为偶函数
所以函数f(x)关于y轴对称，其定义域也关于y轴对称，
故a+1和2a互为相反数，(a+1)+2a=0