Question

初中数学题 请帮忙解答一下

在半径为R的圆O上，取点A 以A为圆心，r为半径做一圆，再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P，Q两点，求证，AP与AQ的积为定值

Answer 1

解：连结AB，连结A0并延长交圆O于C，连结CQ

因为BP是圆A切线，所以角ABP=90°

因为AC是圆O直径，所以角AQC=90°，角AQC=角ABP

因为角C和角APQ都在圆O中对应AQ弦，并不在AQ同侧，故角C+角APQ=180°

又因为角APQ+角APB=180°，所以角C=角APB

所以三角形AQC相似于三角形ABP，故AQ:AC=AB:AP，AP*AQ=AB*AC

所以AP与AQ的积为圆O直径与圆A半径的积，为定值

Answer 2

解： 连 AB，

∵ PQ 与圆A 相切于点B
∴ AB ⊥ PQ 且 r = AB

在 Rt△PAB 中，
AP = AB / sin∠P = r / sin∠P -------------------------------------- ①

在 Rt△QAB 中，
AQ = AB / sin∠Q = r / sin∠Q -------------------------------------- ②

① ② 相乘，得：AP × AQ = （r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q）

下面验证（r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q） 是否为定值。

连 AO并延长AO 交圆O于点C，连CQ。
则 AC 为 圆O 的直径 , 故∠AQC = 90°

在Rt△AQC 中 sin∠C = AQ / AC
而 ∠C = ∠ P AC = 2R
∴ sin∠P = AQ / (2R)
∴ AQ = (2R) × sin∠P ---------------------------------------- ③

由 ② ③ 得：r / sin∠Q = (2R) × sin∠P
∴ r / (sin∠P × sin∠Q) = 2R
上式两边同乘 r ，得：
（r的平方） / (sin∠P × sin∠Q) = 2Rr

这就了验证（r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q） 是定值。

即： AP × AQ 的积为定值，定值为 2Rr

如果您掌握了这个方法，那么恭喜，您已经学到了 高中 著名的 “正弦定理”。

Answer 3

画个数轴,把这些数看成数轴上的点
37-(-7)=44
总共5个点把点(-7)和点(37)分成4个线段
每个线段的距离相等所以每条线段的长度为44/4=11
第一个数,-7+11=4
第二个输:4+11=15
第三个输:15+11=26

Answer 4

37-(-7)=44
44/4=11
-7+11=4
4+11=15
15+11=26
26+11=37
所以在-7与37中间插入三个数，使这5个数每相邻两个之间的距离相等，这三个数是：4、15、26

Answer 5

在-7与37之间插入三个数,使5个数每相邻两个之间的距离相等
组成一个等差数列
公差d
=(37+7)/(5-1)=11
所以
这个等差数列为
-7
4
15
26
37