Question

几何的几道【相似三角形】题目~~

1.如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE‖BC,已知AH⊥BC于H,BC=4，AH=2，求三△DEF的边长。 2.△ABC的两条中线BD、CE交于F,求S△DEF:S△ABC。 3。直角三角形ABC的∠BAC=90°,AD是高,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证：AD^3=BC×BE×CF. 图

Answer 1

1、DE//BC，DE/BC=AE/AC=AG/AH，
作FM⊥DE，垂足M，FM=√3/2DE，
设DE=x,
GH=MF=x√3/2,
AH=2,BC=4,
(2-x√3/2)/2=x/4,
x=2(√3-1).
△DEF的每边长为2(√3-1).
2、DE是三角形的中位线，
E是AB中点，
S△AED=S△BED，（共用高）
S△ABD=S△ABC/2，
S△AED=S△ABC/4，
F是三角形的重心，
BF/DF=2,（重心性质）
S△DEF/S△BEF=1/2,
S△DEF/S△BED=1/3，
S△DEF=S△BED/3=S△ABD/6=S△ABC/12,
S△DEF/S△ABC=1/12.
3、〈ADC=〈BED=90度，
<CAB=<BED=90度,
DE//AC,
〈C=〈BDE，(同位角)
△ADC∽S△BDE，
AD/BE=AC/BD，（1）
同理，
△ABD∽S△CDF，
AD/CF=AB/CD，（2）
S△ABC=AD*BC/2=AB*AC/2，
AD*BC=AB*AC，（3）
（1）*（2），
AD^2/(BE*CF)=AC*AB/(BD*CD)=AD*BC/(BD*CD)(4)
△ABD∽△CAD,
AD^2=BD*CD,
代入(4)式,
AD^2/(BE*CF)=BC/AD,
∴AD^3=BC*BE*CF.

Answer 2

(1)过f做fh‖am交bf于m则fm垂直于de
因为def等边三角形
勾股可得fm=根号3倍的em=2分之根号3倍的de
可设de为x
三角形ade相似于三角形abc 由此可得两三角形的相似比等于高的比
而三角形ade的高为ah-fm=2-2分之根号3x
可列方程2-2分之根号3x比2=x比4
解的x=4-根号3
（2）过f作hf垂直于ed反向延长交bc于m
e，d为ab，ac中点可知2ed=bc，ed平行于bc
则hm垂直于bc
三角形edf相似于三角形bfc
则he比me=1比2
又因为三角形aed相似于三角形abc
所以三角形aed高比三角形abc高等于1比2
所以hm=2/3三角形abc的高
hf=2/9三角形abc的高
所以s三角形abc比edf=1x2/9比1x2=1/9
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