Question

如何求平面外的一点到平面的距离？

Answer 1

在空间向量中，平面外一点P到平面α的距离d为：

d=|n.MP|/|n|，式中，n ---平面α的一个法向向量，M ----平面α内的一点，MP---向量。

平面π的方程为：Ax+By+Cz+D=0，向量

为平面的法向量，平面外一点

坐标为

 

在平面上取一点

则点

 

到平面π的距离为：

其中α为向量

与

的夹角，

而

由于点

在平面π上，因此有

即

由此可得

所以，

求点到平面的距离的方法一般有有两种：

方法一（直接法）：过顶点作平面的垂线，则垂线段长就是所求的点到平面的距离；

方法二（间接法）：设点到平面的距离为h，通过等体积法构造关于h的方程，解出的h即为所求的点到平面的距离。

扩展资料

点到平面距离证明过程

当d≠0时，根据d的符号，可以判断点Q在平面的哪一侧。假设平面法向量n的方向与图中一致，

且该方向指向平面的外侧，那么

(1)d>0时，Q在平面外侧；

(2)d<0时，Q在平面内侧。

参考资料来源：百度百科-点到平面距离