Question

托勒密定理的证明

Answer 1

以下是托勒密定理的证明：圆内四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积。

证法一：

如下图所示，在BD上取一点P，使∠PAB=∠DAC

∵∠ABP=∠ACD

∴△ABP∽△ACD

∴AB/AC=BP/CD

∴AB·CD=AC·BP  ①

∵∠BAC=∠PAD，∠ACB=∠ADP

∴△ABC∽△APD

∴BC/PD=AC/AD

∴BC·AD=AC·PD  ②

①+②得AB·CD+BC·AD=AC·(BP+PD)=AC·BD

证法二：

如下图所示，在AB的延长线上取一点P，使∠ACP=∠DCB 

∵∠PAC=∠BDC

∴△ACP∽△DCB

∴AC/CD=AP/BD

∴AC·BD=CD·AP  ①

∵∠CBP=∠CDA，∠BCP=∠DCA

∴△ACD∽△PCB

∴AD/PB=CD/CB

∴AD·CB=CD·PB  ②

①-②得AC·BD-AD·CB=CD·(AP-PB)=CD·AB

∴AB·CD+AD·BC=AC·BD

以上显然分子与分母相等，等式成立。