Question

定积分求旋转体体积

Answer 1

定积分求旋转体体积如下：

一.套筒法

套筒法，顾名思义，就是将图形绕Y轴旋转所得的形状像套筒一样，所以起名叫做套筒法，那么应该怎么使用，公式又是什么呢?先不要着急，我们来看看一个案例，然后思考公式，这样更能容易理解和记住。

比如上面函数f(x)，取微元[x,x+dx]∈[a,b]绕Y轴旋转，把它看作是宽度为dx,高度为f(x)的小薄片绕Y轴旋转就形成了像戒指一样的环形圈，这个环形圈的宽度是dx,高度为f(x)，而周长就是2Πx，把它展开就形成了下面的长方体。

上面只是函数旋转体积的一个微元，所以需要在函数的区间进行积分后才是它最终的体积。

二.圆盘法

圆盘法，也是一样只不过不是绕Y轴旋转，而是绕X轴旋转，更像是车轮。那么我们不如就用轮胎举例，看下面的函数，取[x,x+dx]∈[a,b]绕X轴旋转，把微元部分想象成一个轮胎，轮胎的宽度为dx,半径为f(x)，所以这个轮胎的微元体积就是下面公式的积分上下限后面的部分。

三.二重积分法

其实二重积分法与上面的相比有很多优点，上面两种方法只能在特定的条件下使用，而下面这个二重积分法可以囊括上面的两个。