Question

常见函数的定义域

Answer 1

常见函数定义域

1、分式函数1/f(x)型.解分母f(x)≠0即可；

2、无理函数√f(x)型.解f(x)≥0；

3、对数函数型,解真数式>0,底数式>0且不为1；

4、正切函数tanf(x)型.解f(x)≠kπ+π/2,k为整数.

一般地,实际解题是多个题型的综合,因此,应综合应用.

函数定义域的认识

我们可以从以下几个方面来认识f(x)。

第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。

第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。

例如：f(x+1)的`自变量是什么呢?它的对应法则还是f吗?f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。

我们不妨作如下假设，如果f(x)=x+1，那么f(x+1)=(x+1)+1,f(x+1)与(x+1)+1这个代数式相等，即：(x+1)+1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1)+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。

再如，f(x)与f(t)是同一个函数吗?

只须列举一个特殊函数说明。

显然，f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x)与f(t)就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。

例：已知f(x+1)=x+1 ，f(x+1)的定义域为[0，2]，求f(x)解析式和定义域

设x+1=t，则；x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：(也就是把x=t-1代入f(x+1)=x+1中)

f(t)=f(x+1)=(t-1)+1

=t-2t+1+1

=t-2t+2

所以，f(t)=t-2t+2， 则f(x)=x-2x+2

或者用这样的方法——更直观：

令 f(x+1)=x+1 中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入 f(x+1)=x+1，那么：

f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)+1

=x-2x+1+1

=x-2x+2

所以，f(x)=x-2x+2

而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，

由t=x+1，f(x+1)的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3]

f(x)=x-2x+2的定义域为：x∈[1，3]

综上所述，f(x)=x-2x+2(x∈[1，3]