Question

矩阵可以相似对角化的充要条件

Answer 1

可相似对角化的充分必要条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理：它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

矩阵对角化的条件：

有个线性无关的特征向量，可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵A相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P1AP是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

如果V是有限维度的向量空间，则线性映射T：V→V被称为可对角化的，如果存在V的一个基，T关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。

任意两个3阶矩阵A，B相似的方法：

1、先求特征多项式，f(λ)=|λE-A|，g(λ)=|λE-B|。

2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A，B不相似。

3、若f(λ)=g(λ)，且有3个不同根，则矩阵A，B相似。

4、若f(λ)=g(λ)，且有2个不同根，即，f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0， 则矩阵A，B相似。