Question

数列的有界性是数列收敛的什么条件?证明

Answer 1

数列有界是数列收敛的必要而不充分条件。无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件，但是有界数列不一定收敛，有界数列是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

如果数列有极限，则数列是有界的，数列有界只是能说明数列在一个范围内变化，而收敛却是让数列朝一个方向逼近。因此数列有界自然是数列有极限的必要条件，但是数列有界不见得有极限，例如数列sin、n就是有界的，但是当n趋于无穷的时候就没有极限。

数列有界的相关定理

1、数列单调增且有上界或数列单调减且有下界，则数列有极限。

2、函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。

3、从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界，如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。