Question

曲线与方程中求轨迹方程有哪几种方法?

Answer 1

直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式,再把坐标代入并化简,得到所求轨迹方程,这种方法叫做直接法.
例1 已知动点P到定点F（1,0）和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程.
设点P的坐标为（x,y）,则由题意可得 .
（1）当x≤3时,方程变为 ,化简得 .
（2）当x>3时,方程变为 ,化简得 .
故所求的点P的轨迹方程是 或 .
二、定义法
由题设所给的动点满足的几何条件,经过化简变形,可以看出动点满足二次曲线的定义,进而求轨迹方程,这种方法叫做定义法.
例2 已知圆 的圆心为M1,圆 的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：,.
.
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12.
故所求轨迹方程为 .
三、待定系数法
由题意可知曲线类型,将方程设成该曲线方程的一般形式,利用题设所给条件求得所需的待定系数,进而求得轨迹方程,这种方法叫做待定系数法.
例3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ,0）,直线y=x－1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为 ,求此双曲线方程.
设双曲线方程为 .将y=x－1代入方程整理得 .
由韦达定理得 .又有 ,联立方程组,解得 .
∴此双曲线的方程为 .
四、参数法
选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标,得到动点轨迹的参数方程,再消去参数,从而得到动点轨迹的普通方程,这种方法叫做参数法.
例4 过原点作直线l和抛物线 交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
由题意分析知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程y=kx.把它代入抛物线方程 ,得 .因为直线和抛物线相交,所以△>0,解得 .
设A（ ）,B（ ）,M（x,y）,由韦达定理得 .
由 消去k得 .
又 ,所以 .
∴点M的轨迹方程为
我只有这四种,应付高中数学足够了 不懂得可以问我