导数的求法?

 我来答
末日机甲旋风少女UI
2022-12-20 · TA获得超过8465个赞
知道大有可为答主
回答量:2120
采纳率:100%
帮助的人:687万
展开全部
求导定义:函数y=f(x)的导数的原始定义为
y'=f'(x)=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)=lim(Δx→0)|Δy/lim(Δx→0)|Δx=dy/dx,
其中Δy=f(x+Δx)-f(x);

实数C的导数(C)'=0

导数的四则运算法则:u=u(x),v=v(x);
加减法原则:(u±v)'=u'±v'
证明:(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)=d(u±v)/dx,
其中Δ(u±v)=u(x+Δx)±v(x+Δx)-u(x)±v(x)
=[u(x+Δx)-u(x)]±[v(x+Δx)-v(x)]
=Δu±Δv,
则(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)
=lim(Δx→0)|(Δu/Δx)±lim(Δx→0)|(Δv/Δx)
=(du/dx)±(dv/dx)
=u'±v'

乘法法则(uv)'=u'v+uv'
证明:则(uv)'=lim(Δx→0)|(Δ(uv)/Δx)=d(uv)/dx,
其中Δ(uv)=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)
=[u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)]+[u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)]
=[u(x+Δx)-u(x)]v(x+Δx)]+u(x)[v(x+Δx)-v(x)]
=Δu×v(x+Δx)]+u(x)×Δv
则(uv)'=lim(Δx→0)|[(Δu×v(x+Δx)]+u(x)×Δv)/Δx]
=lim(Δx→0)|[Δu×v(x+Δx)/Δx]+lim(Δx→0)|[u(x)×Δv/Δx]
=lim(Δx→0)|[Δu×v(x+Δx)/Δx]×lim(Δx→0)|v(x+Δx)+lim(Δx→0)|u(x)×lim(Δx→0)|[u(x)Δv/Δx]
=(du/dx)vx+u(x)(dv/dx)
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

除法法则:(u/v)'=(u'v-uv')/v²
证明:与乘法法则的证法类似,此处略!

复合函数的求导法则:y=f(u)=f(u(x)),u=u(x),则y'=f'(u(x))×u'(x)
简证:y=f(u)=f(u(x)),u=u(x),
则y'=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)
=lim(Δx→0)|[(Δy/Δu)×(Δu/Δx)]
=lim(Δx→0)|(Δy/Δu)×lim(Δx→0)|(Δu/Δx)
=(dy/du)×(du/dx)
=f'(u(x))×u'(x)

e^y+xy-e=0——原隐函数,其中y=f(x)
两边求导得(e^y+xy-e)'=0'
左边先由求导的加减法原则可知(e^y+xy-e)'=(e^y)'+(xy)'-(e)',
由常数的导数为0可知原隐函数两边求导后为:(e^y)'+(xy)'=0
由复合函数的导数可知(e^y)'=e^y×y',其中(e^x)'=e^x;
由求导的乘法法则可知(xy)'=y+xy',
即原隐函数的导数为e^y×y'+y+xy'=0(其中y'=dy/dx)

接下来求函数y的过程就是传说中的求解微分方程,
这个求解通常都比较难,而且往往是非常难!
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式