已知函数的原函数f(x)与反函数f'(x)
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令 x=tant (-π/2<t<π/2)，则
∫(1+x^2)dx=∫sectdtant
=sect*tant-∫tantdsect
=sect*tant-∫tant(sect*tant)dt
=sect*tant-∫[(sect)^2-1]sectdt
=sect*tant-∫(sect)^3dt+∫sectdt
=sect*tant-∫(sect)^3dt+ln(sect+tant)+C1
注意到∫sectdtant=∫(sect)^3dt
故原积分=(1/2)sect*tant+(1/2)ln(sect+tant)+C
最后再作变量还原即得结果：(1/2)x*[√(1+x^2)]+(1/2)ln(x+√(1+x^2))+C
∫(1+x^2)dx=∫sectdtant
=sect*tant-∫tantdsect
=sect*tant-∫tant(sect*tant)dt
=sect*tant-∫[(sect)^2-1]sectdt
=sect*tant-∫(sect)^3dt+∫sectdt
=sect*tant-∫(sect)^3dt+ln(sect+tant)+C1
注意到∫sectdtant=∫(sect)^3dt
故原积分=(1/2)sect*tant+(1/2)ln(sect+tant)+C
最后再作变量还原即得结果：(1/2)x*[√(1+x^2)]+(1/2)ln(x+√(1+x^2))+C
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