Question

已知f(x)=√(1+x^2),求证对于任意两个不等式实数x1,x2,总有:|f(x1)-f(x2)|

Answer 1

证明：
f(x1)=√(1+x1^2),
f(x2)=√(1+x2^2),
所以:|f(x1)-f(x2)|=|√(1+x1^2)-√(1+x2^2)|
将之分子实数化,也就是分子分母同乘以该式的共轭因子√(1+x1^2)+√(1+x2^2),化简后
得到|（x1+x2）（x1-x2）/（√(1+x1^2)+√(1+x2^2)|
因（√(1+x1^2)>√(x1^2)=|x1|
所以√(1+x1^2)+√(1+x2^2)>|x1|+|x2|>=x1+x2
所以|（x1+x2）/（√(1+x1^2)+√(1+x2^2)|