Question

如图,AB=AE,AB⊥AE,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证 (1)DE=2AM (2)AM⊥DE

Answer 1

证明：在AM的延长线上取点N,使AM＝MN,连接BN、CN
1、
∵M是BC的中点
∴BM＝CM
∵AM＝MN
∴平行四边形ABNC
∴∠BAC+∠CAN＝90,CN＝AB
∵AB＝AE
∴CN＝AE
∵AB⊥AE,AD⊥AC
∴∠BAE＝∠CAD＝90
∴∠BAC+∠DAE＝360-（∠BAE+∠CAD）＝180
∴∠CAN＝∠DAE
∵AD＝AC
∴△ACN≌△DAE （SAS）
∴AN＝DE
∵AN＝AM+MN＝2AM
∴DE＝2AM
2、延长MA交DE于F
∵∠CAD＝90
∴∠CAM+∠DAF＝180-∠CAD＝90
∵△ACN≌△DAE
∴∠ADE＝∠CAM
∴∠ADE+∠DAF＝∠CAM+∠DAE＝90
∴∠AFD＝180-（∠ADE+∠DAF）＝90
∴MA⊥DE