高数一道求级数的题求助：∑(n=0到无穷) (-1)^n (n+1)/n! 请给出过程
高数一道求级数的题求助：∑(n=0到无穷) (-1)^n (n+1)/n! 请给出过程
解：求和的表示式中通式是不是“[(-1)^n](n+1)/(n!)”？若是，分享一种解法。
原式=1+∑[(-1)^n](n+1)/(n!)，n=1,2，……，∞。
又，∑[(-1)^n](n+1)/(n!)=∑[(-1)^n]/[n-1)!]+∑[(-1)^n]1/(n!)=-∑[(-1)^n]/(n!)+∑[(-1)^n]/(n!)，而前一个合式中的n=0,1，……、后一个合式中n=1,2，……，将前面拆分出来的1与后一个合式合并，均为n=0,1，……，∞，
∴原式=0。
供参考。
如何求下列级数的敛散性：∑（n从1到正无穷）a^n* n! / n^n (a>0) ∑（n从1到正无穷）(a*n /n+1)^n (a>0)
lim(n→∞)[a^(n+1)*(n+1)^(n+1)/(n+1)^(n+1)]/[a^n* n! / n^n] (a>0)
=lim(n→∞)[a(n+1)n^n]/(n+1)^(n+1)
=lim(n→∞)a[n/(n+1)]^n
=lim(n→∞)a/(1+1/n)^n
=a/e
若0<a<e,则该级数收敛
若a=e,该级数为∑（n从1到正无穷）e^n* n! / n^n
∵e^n* n! / n^n>1/n^n
又lim(n→∞)1/n^n=lim(n→∞)e^[nln(1/n)]=∞≠0
∴∑（n从1到正无穷）1/n^n发散
∴∑（n从1到正无穷）e^n* n! / n^n
若a>e,则该级数发散
综上，当0<a<e时级数收敛，当a≥e时发散
lim(n→∞){[an/(n+1)]^n}^(1/n)
=lim(n→∞)an/(n+1)
=a
若0<a<1,则该级数收敛
若a=1,该级数为∑（n从1到正无穷）(n /n+1)^n
lim(n→∞)(n /n+1)^n=lim(n→∞)1/(1+1/n)^n=1/e≠0
∴∑（n从1到正无穷）(n /n+1)^n发散
若a>1,则该级数发散
综上，当0<a<1时级数收敛，当a≥1时发散
求数项级数的和∑（n=1到无穷） n^2/n！
刚回答：∑（n=1到无穷） n^2/n！
=∑（n=1到无穷） n/(n-1)！
=∑（n=1到无穷)(n-1+1)/(n-1)！
=∑（n=2到无穷)1/(n-2)！+∑（n=1到无穷)1/(n-1)！
=e+e=2e
(-1)^n(2/3)^n n属于1到无穷大 求该级数的和
设该级数前n项的和为Sn，
于是Sn=(-2/3)+(-2/3)²+（-2/3）³+...........(-2/3)^n
=-2/3[1+(-2/3)+(-2/3)²+（-2/3）³+...........+(-2/3)^(n-1)]
=(-2/3)[1-(-2/3)^n]/[1-(-2/3)]
=(-2/5)[1-(-2/3)^n]
∴该级数的和=（n->∞）limSn
=（n->∞）lim{(-2/5)[1-(-2/3)^n]}
=-2/5。
x^n/(1+x^n) n=0~无穷 级数的敛散性
x^n/(1+x^n) 定义域：x≠ -1
当 x=1 时，lim x^n/(1+x^n)=1/2 ≠ 0 ,级数发散。
当 |x|>1 时，lim x^n/(1+x^n)=1 ≠ 0 ,级数发散。
lim(n->∞) | a(n+1)/an |= x^n/(1+x^n)
=lim(n->∞) | x^(n+1)/(1+x^(n+1))/x^n/(1+x^n)|
=lim(n->∞) |x|*|(1+x^n)/(1+x^(n+1))|
=|x|
当 |x|<1 时：lim(n->∞) | a(n+1)/an |= |x| < 1 级数收敛；
故当且仅当 |x|<1 时，级数收敛，且为 绝对收敛。
x^n/(1+x^n)
求极限n->无穷时 (n^2)/e^(n^(1/2))的极限，请给出过程谢谢
诺必达法则，分子分母同时求导
=2n/(exp(n^(1/2))/(2*n^(1/2)))
再去求导
=2/(exp(n^(1/2))/(4*n) - exp(n^(1/2))/(4*n^(3/2)))
n->无穷时
2/(exp(n^(1/2))/(4*n) - exp(n^(1/2))/(4*n^(3/2)))
->0
所以极限=0
当0<y<x时,求无穷级数的和函式∑(n=1,∞)(1+y)^n-1/(1+x)^n
是不是求“∑[(1+y)^(n-1)]/(1+x)^n，n=1,2，……，∞”？如是，可以这样求解：
∵∑[(1+y)^(n-1)]/(1+x)^n=[1/(1+x)]∑[(1+y)/(1+x)]^(n-1)，
而，∑[(1+y)/(1+x)]^(n-1)是首项为1、公比q=(1+y)/(1+x)的等比数列。又，0<y<x，∴丨q丨<1，满足等比数列收敛条件，
∴∑[(1+y)^(n-1)]/(1+x)^n=[1/(1+x)]/(1-q)=1/(x-y)。
供参考。
求下列常数项级数的和∑(上无穷，下n=1) 1/(n^2-1)2^n
先采后回
求幂级数的和函式,求幂级数∑(上是无穷大，下是n=1){[(-2)^n+3^n]/n}*(x-1)^n的收敛域，详细过程~
通项an＝((－2)^n+3^n)/n，显然an<3^n/n，由于lim （－2/3）^n=0，因此
另外an＝3^n/n*【(1+(－2/3)^n)】>0.5*3^n/n，当n充分大时。
再利用n次根号(1/n)的极限是1，得
n次根号(an)的极限是3，于是收敛半径是1/3。
当x－1＝1/3时，通项是(－2/3)^n/n+1/n，级数不收敛。
当x－1＝－1/3时，通项是(2/3)^n/n+(－1)^n/n，级数收敛，
因此收敛域是【2/3，4/3)。
