已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a 5 +b 5 >a 2 b 3 +a 3 b 2 .
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证:(a 5 +b 5 )-(a 2 b 3 +a 3 b 2 )=( a 5 -a 3 b 2 )+(b 5 -a 2 b 3 )
=a 3 (a 2 -b 2 )-b 3 (a 2 -b 2 )=(a 2 -b 2 )(a 3 -b 3 )
=(a+b)(a-b) 2 (a 2 +ab+b 2 )
∵a,b都是正数,∴a+b,a 2 +ab+b 2 >0
又∵a≠b,∴(a-b) 2 >0∴(a+b)(a-b) 2 (a 2 +ab+b 2 )>0
即:a 5 +b 5 >a 2 b 3 +a 3 b 2 .
=a 3 (a 2 -b 2 )-b 3 (a 2 -b 2 )=(a 2 -b 2 )(a 3 -b 3 )
=(a+b)(a-b) 2 (a 2 +ab+b 2 )
∵a,b都是正数,∴a+b,a 2 +ab+b 2 >0
又∵a≠b,∴(a-b) 2 >0∴(a+b)(a-b) 2 (a 2 +ab+b 2 )>0
即:a 5 +b 5 >a 2 b 3 +a 3 b 2 .
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