Question

计算 _0^1ydxdy ,其中D是由直线y=x,x=1,x=0,及曲线y=e围成的平面区域？

Answer 1

首先，我们可以画出该平面区域 D 的示意图。如下图所示，这个区域被直线 y=x、x=1 和 x=0 所围成，并且另一条边缘是曲线 y=e。
```
^ y
|
3| +-------+
2| |xxxxxxx|
1| |xxxxxx |
| |xxxxx |
0| |xxxx |
+-----+------->
0 1 x ->
```
在该平面区域内，y 的取值范围为 [x,e]，x 的取值范围为 [0,1]。因此，我们可以先对 y 进行积分，再对 x 积分，即可得到表达式：
∫[0,1] ∫[x,e] y dxdy
对第一个积分号内的积分先做，得到：
∫[x,e] y dx = xy ∣[x,1] = y(1-x)
然后，对上式右侧的结果再次积分，有：
∫[0,1]y(1-x)dy = [(1-x)*y^2/2]∣[x,e] = (1-x)*(e^2-x^2)/2
将其中的 x 替换为 0 和 1，整合两次积分结果，即可得到：
∫[0,1] ∫[x,e] y dxdy = 1/2 * (e^2-1/3)
因此，原问题的答案是 1/2 * (e^2-1/3)。