Question

已知椭圆的两个焦点F1,F2的坐标为(-3,0)(3,0),P为椭圆上一点，cos∠F1PF2的最小值为-7/25，求椭圆方程。

RT

Answer 1

解：设所求椭圆的方程：x²/a²+y²/b²=1
由椭圆的定义：PF1+PF2=2a
由余弦定理：
cos∠F1PF2=[(PF1)²+(PF2)²-(F1F2)²]/2PF1*PF2》[2(PF1)*(PF2)-6²]/2PF1*PF2
当且仅当，PF1=PF2 =a时，取等号，即：cos∠F1PF2=-7/25
所以，当△PF1F2是等腰三角形时，cos∠F1PF2取最小值
又因为，PO⊥F1F2
所以，∠F1PO=(1/2)∠F1PF2
所以，cos∠F1PF2=cos2*∠F1PO=-7/25
所以，2*cos²∠F1PO-1=-7/25
所以，cos²∠F1PO=9/25
因为，0<∠F1PF2<180°
所以，0<∠F1PO<90°
所以，cos∠F1PO=3/5
在Rt△F1PO中，cos∠F1PO=PO/PF1=b/a=3/5
所以，令，b=3k, a=5k,
由题得：c=3
所以，a²=b²+c²
(5k)²=(3k)²+3²
解之，k²=9/16
所以，a²=25k²=25*9/16=225/16, b²=9k²=9*9/16=81/16
所以，所求椭圆的方程：16x²/225+16y²/81=1