∫4÷(x²+x+1)dx
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先化简：
=∫4dx/(x²+x+1/4 + 3/4)
=∫4dx/[(x+1/2)²+(√3/2)²]
设 x+1/2 = √3/2 * tanα。则有：
α = arctan[2√3/3 * (x+1/2)]
d(x+1/2) = dx = √3/2 * sec²α * dα
代入上面的积分式，得到：
=∫4 * √3/2 * sec²α * dα/[3/4 * (tan²α + 1)]
=∫8√3/3 * dα
= 8√3/3 * α + C
= 8√3/3 * arctan[2√3/3 * (x+1/2)] + C
=∫4dx/(x²+x+1/4 + 3/4)
=∫4dx/[(x+1/2)²+(√3/2)²]
设 x+1/2 = √3/2 * tanα。则有：
α = arctan[2√3/3 * (x+1/2)]
d(x+1/2) = dx = √3/2 * sec²α * dα
代入上面的积分式，得到：
=∫4 * √3/2 * sec²α * dα/[3/4 * (tan²α + 1)]
=∫8√3/3 * dα
= 8√3/3 * α + C
= 8√3/3 * arctan[2√3/3 * (x+1/2)] + C
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