Question

定义[ a,b,c]为函数y=ax2+bx+c 的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数

下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(1/3 ，8/3 )；
② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；
③ 当m < 0时，函数在x > 1/4时，y随x的增大而减小；
④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
求每一步证明！！！！！！

Answer 1

选B

y = ax²+bx+c 特征数：[2m, 1-m, -1-m]
①当m = -3时，y = -6x²+4x+2 = -6(x-1/3)²+8/3，
顶点坐标是(1/3, 8/3)
----------------------------------------------正确
②当m > 0时，令y=0，有2mx²+(1-m)x+(-1-m)=0，
解得：x=±[(3m+1)/(4m)]-[(1-m)/(4m)]
|x2-x1|=(3m+1)/(2m)=3/2+1/(2m)>3/2
----------------------------------------------题目未写全，暂时不能判断
③当m < 0时，y = 2mx²+(1-m)x+(-1-m) 是一个开口向下的抛物线，
其对称轴是：x=(m-1)/(4m)，在对称轴的右边y随x的增大而减小(单调递减)。
因为当m < 0时，(m-1)/(4m)=1/4 - 1/(4m) > 1/4，即对称轴在x=1/4右边，
因此函数在x=1/4右边先单调递增到对称轴位置，再单调递减。
----------------------------------------------错误
④当x=1时，y = 2mx²+(1-m)x+(-1-m)=2m+(1-m)+(-1-m)=0
即对任意m∈R，函数图像都经过点(1, 0)
那么同样的：当m ≠ 0时，函数图象都经过同一个点(1, 0)
----------------------------------------------正确

根据上面的分析，①④都是正确的，③是错误的。题中的答案只有B符合。
②中未写全的应该是3/2，即：
“当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3/2”

Answer 2

因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1-m，-1-m]；
①当m=-3时，y=-6x2+4x+2=-6（x-13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；
②当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=(m-1)±(3m+1)4m，x1=1，x2=-12-12m，
|x2-x1|=32+12m＞32，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32，此结论正确；
③当m＜0时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：m-14m，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，m-14m=14-14m＞14，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x=1时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．

Answer 3

B