Question

求教，微积分

我学的微积分，可是学得一塌糊涂，搞不清什么是微分、积分、导数什么的是什么意思，只知道套公式。到现在就根本不理解到底说的是什么。例如一道例题：

求指数函数的

y=e^(6x+3)
让y=e^u 那么u=6x+3

dy/dx=(dy/du)×(du/dx)
=e^u × 6
=6e^(6x+3)

我想问的是那个(dy/du)×(du/dx)是怎么算出e^u × 6的？还有最后算出的6e^(6x+3)是什么意思？为什么e^(6x+3)会变成6e^(6x+3)？
能不能详细点，我不理解求导的意思
为什么y对u求导还是等于e^u?

还有我不明白，最后求出的6e^(6x+3)是什么东西？和原题中的e^(6x+3)有什么关系
我几乎搞不懂这种求法到底求出了什么

Answer 1

这是一个对复合函数的求导问题。
y=e^(6x+3)有两个基本初等函数组成，即
y=e^u和
u=6x+3组成
其中第一个函数中的u是自变量，第二个函数中的u是应变量。
复合函数的求导方式是先以y为应变量、以u为自变量，对第1个函数求导，即dy/du，再以u为应变量、以x为自变量，对第2个函数求导，即du/dx，然后两者相乘，即dy/dx=dy/du·du/dx，然后把导函数中的u全部用第2个函数替代。
在本题中，
dy/du=d(e^u)/du=e^u
du/dx=d(6x+3)/dx=6
∴dy/dx=dy/du·du/dx=6e^u=6e^(6x+3)
即 y'=6e^(6x+3)
其中，e^(6x+3)是原函数公式，6e^(6x+3)是原函数的导数公式，从内容上两者没有必然的关系，只是形式相近而已。

Answer 2

dy/du即式y=e^u中y对u求导=e^u ，du/dx即式u=6x+3中u对x求导=6，两者相乘。
e^u × 6=6e^u，其中u=6x+3，代入式中得6e^(6x+3)

Answer 3

利用的是微分的形式不变性，可参考此节内容。
u是中间变量，u=6x+3，du/dx是求导数，结果是6。
y=e^u ，自变量是u，dy/du等于e^u。
结果乘在一起，就对了。

Answer 4

dy/du=e^u
有公式(e^x)'=e^x，
原因是这样的：
因为e^x的级数形式为
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!.......
对e^x求导后得到的就是它本身。
du/dx=6
函数u=6x+3,导数为6，就是u随x的变化率是6倍的关系：x增加1，那么u就要增加1的6倍，就是6啊。就是这个函数在坐标系中所表示出的直线的斜率。
其实求导就是求应变量y随变量x的变化率的。
(dy/du)*(du/dx)=e^u*6=6*e^(6x+3)
求出来的6*e^(6x+3)就是原来函数y=e^(6x+3)中y随x的变化率，就是广义的斜率。