Question

直线 3x+2y+4z-11=0 2x+y-3z-1=0 的点向式方程为？

Answer 1

首先将两个平面的参数式方程转化为点向式方程：
第一个平面：3x + 2y + 4z - 11 = 0，可化为点向式方程：
P1(x, y, z) = (0, 0, 11/4) + t(3, 2, -4)
其中 (0, 0, 11/4) 是该平面上的一个点，向量 (3, 2, -4) 是该平面的法向量。
第二个平面：2x + y - 3z - 1 = 0，可化为点向式方程：
P2(x, y, z) = (0, 1, -1/3) + s(2, -1, 3)
其中 (0, 1, -1/3) 是该平面上的一个点，向量 (2, -1, 3) 是该平面的法向量。
两个平面的交线就是它们的公共部分，即同时满足这两个平面方程的点。我们可以将上述两个点向式方程联立，解出交线的参数式方程。
首先设交线上一点为 Q(x, y, z)，则该点既满足 P1(x, y, z) 的方程，也满足 P2(x, y, z) 的方程，即：
Q(x, y, z) = (0, 0, 11/4) + t(3, 2, -4) = (0, 1, -1/3) + s(2, -1, 3)
将这两个式子化简得：
3t = 2s + x
2t - s = y
-4t + 3s = z - 11/4
将前两个式子中的 t 和 s 用第三个式子表示出来，得：
t = (3z - 47/4) / 26
s = (2z - 39/4) / 26
将 t 和 s 代入前两个式子，得：
x = (23/4 - 6y + 11z) / 26
y = (13/4 - 5z) / 26
因此，交线的参数式方程为：
Q(x, y, z) = (23/104, 13/104, 0) + t(-6/13, 1/13, 3/13)
其中 (23/104, 13/104, 0) 是交线上的一个点，向量 (-6/13, 1/13, 3/13) 是交线的方向向量。