Question

25.求微分方程 2dx=(x+e^y)dy 的通解

Answer 1

1、将微分方程进行变形，得到：

    2dx=(x+e^y)dy

    2dx/x = dy + e^y/x dy

2、对等式两边同时积分，得到：

    ∫ 2dx/x = ∫ (dy + e^y/x dy)

    2ln|x| = y + e^y + C

3、其中C为任意常数，将等式移项整理可得：

    y + e^y = 2ln|x| + C

这就是微分方程的通解。

Answer 2

2dx=(x+e^y)dy
dx/dy = (1/2)x +(1/2)e^y
dx/dy - (1/2)x =(1/2)e^y
e^(-y/2).[dx/dy - (1/2)x] =(1/2)e^(y/2)
d/dy [ x.e^(-y/2) ] =(1/2)e^(y/2)
x.e^(-y/2) =e^(y/2) + C1
x =1+ C1.e^(y/2)

Answer 3

我们可以对方程进行变形，得到：
2dx = (x + e^y) dy
2dx - xdy = e^y dy
现在我们来考虑如何求解这个微分方程。
观察左侧的 2dx - xdy，可以发现它是一个恰当微分式，因为：
∂/∂y (2x) = 0
∂/∂x (-x) = -1
这意味着存在一个函数 f(x, y)，使得：
∂f/∂x = 2x 且 ∂f/∂y = -x
我们来解出这个函数 f(x, y)。从第一个方程开始，我们对 x 积分得到：
f(x, y) = x^2 + g(y)
这里 g(y) 是关于 y 的任意常数。
我们将 f(x, y) 的表达式代入第二个方程中：
∂f/∂y = -x
∂(x^2 + g(y))/∂y = -x
dg/dy = -x
我们再次对 y 积分，得到：
g(y) = -y^2/2 + C
这里 C 是关于 x 的任意常数。
现在我们可以将 g(y) 的表达式代入 f(x, y) 中，得到：
f(x, y) = x^2 - y^2/2 + C
因此，微分方程的通解为：
x^2 - y^2/2 = C
其中 C 是任意常数。