Question

如何用曲线积分求星形线的面积？

Answer 1

用曲线积分求星形线的面积的方法：

根据第二类曲线积分和格林公式，

所求的面积:S=∫∫dxdy=∫L  xdy=∫(0->2π)  a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8

注：格林公式如下：

例题：用曲线积分计算星形线x=cos^3t,y=sin^3t，其中（0<t<2pi）的面积。

转化为第二类曲线积分用格林公式推广式做，即由推出A=1/2（∫xdy-ydx）。

那么这个星形线的面积就可以表示为S=1/2∫【0，2π】（3cos^4sin^2+3sin^4cos^2dt，接下来只需要算一个定积分即可，最后化简出来是3/2∫【0，2π】(1/8—1/8cos4t)dt，算出来S=3π/8。

扩展资料：

利用曲线积分求面积的例子：

设（t,t^2+1）为曲线段y=x^2+1上的点， 

(1)求出由该曲线与曲线在此点处的切线，以及x=0，x=a所围成的面积A(t). 

用定积分求解

解:(1) 

对x求微分有:dy/dx=2x 

所以所求切线得斜率是2t, 

所以切线方程用点斜式得:y=2t(x-t)+t^2+1 

整理得: 2tx-y-t^2+1=0 

又由微积分得定义可知要求的面积 

a 

A(t)=∫0(x^2+1)dx 

a a 

=∫0x^2dx+∫0dx 

a a 

=[1/3x^3]0 + [x]0 

=1/3a^3+a 

所以A(t)=1/3a^3 +a

参考资料来源：百度百科-格林公式