Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），过点E（a^2/c,0

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），过点E（a^2/c,0）的直线与椭圆交于点A、B两点，且F1A//F2B，|F1A|=2|F2B|。
1.求椭圆的离心率。2.求直线AB的斜率。3.设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求n/m的值

Answer 1

（1）绝对弄错了，应该是|F2B|=2|F1A|，你画个图 就知道题目说的有问题
F1A//F2B，则△EAF1∽△EBF2
|EF1|/|EF2|=|F1A|/|F2B|=1/2
|EF1|=a²/c-c，|EF2|=a²/c+c
得a²=3c²
则e=c/a=√3 /3

（2）设A(x1，y1)B(x2，y2)，分别过A、B作右准线的垂线AC与BD，B作左准线的垂线BH
△EAF1∽△EBF2，则y2=2y1（相似三角形对应高之比等于相似比）
则，|BD|=2|AC|，根据椭圆第二定义
B到左准线的距离|BH|=|BF2|/e，A到右准线的距离|AC|=|AF1|/e
|F2B|=2|F1A|，|BH|=2|AC|
故|BH|=|BD|,B点到左右准线的距离相等，则B必然在y轴上，
则B的坐标为(0,b)
直线AB经过点E(a²/c，0)，点B(0，b)，e=√3/3，AB斜率k=-bc/a²=-√2/3
则其方程为y=-√2/3+b