Question

如何证明矩阵一定可逆？

Answer 1

证明矩阵可逆的方法如下：

1、矩阵的秩小于n，那么这个矩阵不可逆，反之可逆。

2、矩阵行列式的值为0，那么这个矩阵不可逆，反之可逆。

3、对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。

4、对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。

逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

定义：一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E。并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）－1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）－1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明：

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。

2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）＝（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）－1和A，因此相等。

4、矩阵A可逆，有AA-1=I。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。

而（AT）－1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）－1=（A-1）T。1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）＝A-1O=O而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I。得B-C=O，即B=C。