Question

为什么∫(0, x) dy(d/ dx) dx=∫(0,?

Answer 1

解析：我们知道 y'＝dy/dx.
也就是说 dy/dx就是对y求导的意思！
那么现在d/dx后面接定积分，就是对定积分求导的意思，定积分是一个常数，常函数的导数是0！
如果d/dx后面接的是不定积分，比如说求d/dx∫f(x)dx，它的结果是什么呢？我们可以这样做，设f(x)的原函数是F(x)＋C，则F(x)＋C＝∫f(x)dx，
那么d/dx∫f(x)dx＝d/dx［F(x)＋C］＝F'(x)＋0＝f(x)，也就是说d/dx∫f(x)dx＝f(x).

注意：千万不要把定积分与变上限积分搞混淆了，定积分是常数，而变上限积分是函数！

你所补充的是变上限积分：d/dx∫(0,x)f(t)dt=f(x)，求导规则是，把上限x代替被积函数里面的t 就好了。例如:d/dx∫(0,x)sintdt=sinx.
但是，如果上限不是x，而是其他函数，比如是x^2，那么你把x^2代替t之后还要乘以x^2的导数，即乘以2x，如：d/dx∫(0,x^2)sintdt=sinx^2*2x=2xsinx^2.

给你提供一个公式：∫(ψ(x),g(x)) f（x）dx＝f（g(x)）*g'(x)－f（ψ(x)）*ψ'(x).