Question

求手写答案

Answer 1

【求解答案】

（1）f(x)=x³+ax²+bx=x³-6x²-6x。

（2）f(x)的极小值为-28-12√6；f(x)的极大值为-28+12√6。

【求解思路】

（1）根据导数的几何意义，函数的一阶导数是该函数的切线斜率。则根据题意， 一元二次函数的导数等于直线的斜率。即y’=3x²+2ax+b=(9x+8)’=9

再根据切点（-1，-1），都在可函数f(x)和已知直线上，所以将切点（-1，-1）分别代入其导函数中得到线性联立方程组，即

解方程组，可解得系数a和b

（2）函数极值，可以按下列步骤，按部就班计算，即可得到函数的极大值和极小值

第一步，求函数的一阶导数。

第二步，令其导函数等于0，并求解y’=0的x值。

第三步，求x对应的y值，即极值点的坐标值。

第四步，求函数的二阶导数，并把x值代入计算，判断其是极大值还是极小值。

【求解过程】

解：（1）求函数f(x)的解析式

函数f(x)的一阶导数，

y’=f’(x)=3x²+2ax+b

直线斜率 y’=(9x+8)’=9

根据题意，函数f(x)和直线相切于（-1，-1），则他们的一阶导数是相等的。即

3x²+2ax+b=9

因切点（-1，-1）在函数f(x)上，则有

-1+a-b=-1  （1）

3-2a+b=9  （2）

求解式（1）和式（2）的联立方程组，得

a=-6，b=-6

所以，函数f(x)的解析式

f(x)=x³+ax²+bx=x³-6x²-6x

（2）求函数f(x)的极值

1）求函数f(x)的一阶导数，

y’=f’(x)=(x³-6x²-6x)’=3x²-12x-6

2）求y’=0的x值

令y’=0，求解3x²-12x-6=0方程，得x1=2 + √6 ，x2=2 - √6

3）求x对应的y值

当x=2+√6时，y(2+√6)=(2+√6)³-6(2+√6)²-6(2+√6)=-28-12√6≈-57.394

当x=2-√6时，y(2-√6)=(2-√6)³-6(2-√6)²-6(2-√6)=-28+12√6≈1.394

4）求函数f(x)的二阶导数，

y”=f”(x)=(x³-6x²-6x)”=(3x²-12x-6)’=6x-12

当x=2+ √6时，y”(2+√6)=6×(2+√6)-12=6^(3/2)>0

当x=2-√6时，y”(2-√6)=6×(2-√6)-12=-6^(3/2)<0

所以，当x=2+√6 时，有极小值，其极值为 y=-28-12√6；当x=2-√6 时，有极大值，其极值为 y=-28+12√6。

【本题知识点】

1、导数的几何意义。

在几何上，函数f(x)的导数 f'(x) 是函数y=f(x)表示的曲线在点x 的切线的斜率，即  k=f ′(x) = tanα。

2、函数极值条件。

1）、一元函数的极值。如果函数f(x)在点x0的某一邻域内满足f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；如果函数f(x)在点(x0)的某一邻域内满足f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值。点(x0)称为极值点。

2、极值的判定。可以根据第一充分条件和第二充分条件来判断。

第一充分条件：设y=f(x)在x0的某一邻域可导，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，如果y'在x0的两侧异号，则f(x0)为极值；如果y'在x0的两侧同号，则f(x0)非极值。

第二充分条件：设y=f'(x0)=0，f"(x0)存在，且f"(x0)≠0，如果f"(x0)>0，则f(x0)为极小值；如果f"(x0)<0，则f(x0)为极大值。