Question

3.随机变量X的概率密度为 f(x)=1/(x(1+x^2)) 则 Y=-X 的概率密度函数是_？

Answer 1

要求随机变量Y的概率密度函数，其中Y=-X是X的负值。我们可以使用变量转换的方法来求解。

首先，我们将Y=-X带入Y的概率密度函数。我们有Y = -X，因此X = -Y。接下来，我们需要找到Y关于X的导数，以便进行变量转换。

对X = -Y两边同时求导，得到 dX/dY = -1。

现在，我们需要求解Y关于X的概率密度函数f_Y(y)。根据概率密度函数转换公式：

f_Y(y) = f_X(x) * |(dX/dY)|

将X = -Y和dX/dY = -1代入上述公式，我们有：

f_Y(y) = f_X(-y) * |-1|

由于题目给出了X的概率密度函数f_X(x)，我们将其代入上式：

f_Y(y) = f_X(-y) * 1

然后，我们将f_X(-y)替换为f_X(x)来得到最终结果：

f_Y(y) = f_X(x)

综上所述，随机变量Y的概率密度函数与随机变量X的概率密度函数相同，即 f_Y(y) = f_X(x) = 1/(x(1+x^2))。

请注意，这里的x和y是指连续随机变量X和Y的取值，而不是相互转换后的值。同时，为了确保结果的准确性，建议通过数值验证或求解积分以验证概率密度函数的正确性。