Question

xyz=80，求xy+yz+xz的最大值与最小值

Answer 1

给定xyz = 80，我们需要求解 xy + yz + xz 的最大值与最小值。
首先，我们可以使用数学推导来解决这个问题。
根据均值不等式（AM-GM不等式），对于任意非负实数 a 和 b，有 a + b ≥ 2√(ab)。应用这个不等式，我们可以得到：
xy + yz ≥ 2√(xy · yz) = 2√(y² · xz) = 2y√(xz)
同样地，我们可以得到：
xz + yz ≥ 2z√(xy)
现在，我们将这两个不等式相加：
(xy + yz) + (xz + yz) ≥ 2y√(xz) + 2z√(xy)
化简后得到：
2(xy + xz + yz) ≥ 2(y√(xz) + z√(xy))
除以2得到：
xy + xz + yz ≥ y√(xz) + z√(xy)
接下来，我们来确定最大值和最小值。
最大值：要使得 y√(xz) + z√(xy) 最大化，我们需要将 y 和 z 设为最大值，即 y = z = √80。此时有：
xy + xz + yz ≥ 2(√80)√(xz) = 2√(80xz)
因此，xy + xz + yz 的最大值为 2√(80xz)，当且仅当 y = z = √80 时达到。
最小值：要使得 y√(xz) + z√(xy) 最小化，我们需要将 y 和 z 设为最小值，即 y = z = 0。此时有：
xy + xz + yz = xz
因此，xy + xz + yz 的最小值为 xz，当且仅当 y = z = 0 时达到。
综上所述，xy + xz + yz 的最大值为 2√(80xz)，最小值为 xz。

Answer 2

根据给出的xyz=80，可以列出不等式：
xy+yz+xz = (x+y)z + xy
由于xyz = 80，z > 0，所以 x+y = 80/z。
将 x+y = 80/z 代入上述不等式得：
xy+yz+xz = (80/z)z + xy = 80 + xy
因此，xy+yz+xz 的最大值为 xy+yz+xz = 80 + xy，其中 xy 的取值范围为 [0, 160]。
而对于最小值，我们可以通过求导的方式来得到。令 f(xy) = xy+yz+xz，则：
f'(xy) = y + z
令 f'(xy) = 0，则 y = -z。
因为 y > 0，所以 z < 0，与前面 z > 0 矛盾，说明 f(xy) 在取得最小值时不可能同时满足 y + z = 0。
因此，xy+yz+xz 的最小值不存在。

Answer 3

我们可以使用不等式来求解这个问题。

给定 xyz = 80，我们要求 xy + yz + xz 的最大值和最小值。

首先，我们观察到 xy + yz + xz 可以重写为 (x + y)z + xy。

根据均值不等式，对于任意实数 a 和 b，有 2√(ab) ≤ a + b。

将 a = x + y，b = z，应用均值不等式，可以得到 2√((x + y)z) ≤ (x + y) + z。

同时，应用均值不等式，有 2√(xy) ≤ x + y。

将这两个不等式相加，可以得到 2√((x + y)z) + 2√(xy) ≤ (x + y) + z + x + y。

简化后可得 2√((x + y)z) + 2√(xy) ≤ 2x + 2y + 2z。

将等号两边都除以 2，得到 √((x + y)z) + √(xy) ≤ x + y + z。

根据已知条件 xyz = 80，可以得到 √((x + y)z) + √(xy) ≤ x + y + z = (x + y) + z = 80/z + z。

因此，我们的目标是最小化 80/z + z。

根据算术-几何均值不等式，对于任意正数 a 和 b，有 (a + b)/2 ≥ √(ab)。

将 a = 80/z，b = z 应用于算术-几何均值不等式，可以得到 (80/z + z)/2 ≥ √(80/z * z) = √80 = 4√5。

因此，(80/z + z)/2 ≥ 4√5，进一步推导可得 80/z + z ≥ 8√5。

所以，xy + yz + xz 的最小值为 8√5。

另一方面，我们可以使用 AM-GM 不等式求得最大值。

对于任意正数 a，b，有 (a + b)/2 ≥ √(ab)。

将 a = xy，b = xz，应用 AM-GM 不等式，可以得到 (xy + xz)/2 ≥ √(xy * xz) = √(x^2yz) = x√(yz)。

将 a = yz，b = x√(yz)，再次应用 AM-GM 不等式，可以得到 (yz + x√(yz))/2 ≥ √(yz * x√(yz)) = √(xyz^2) = z√(xy)。

将 a = x√(yz)，b = z√(xy) 应用 AM-GM 不等式，可以得到 (x√(yz) + z√(xy))/2 ≥ √(x√(yz) * z√(xy)) = √(xyz) = √80 = 4√5。

因此，(xy + xz + yz)/3 ≥ 4√5。

进一步推导可得 xy + xz + yz 的最大值为 12√5。

综上所述，xy + yz + xz 的最小值为 8√5，最大值为 12√5。

Answer 4

首先，根据给出的等式xyz=80，可以推导出x+y+z的最小值。根据调整不等式法则，有：
(x+y+z)的平方 = x²+y²+z²+2(xy+yz+xz)
= (x²+y²+z²) + 2(xy+yz+xz)
≥ 6√(x²y²z²)
因为xyz=80，开根号并代入公式化简得： x+y+z≥6√(xyz)=24
因此，xy+yz+xz的最小值为2×80÷24=20/3.
要求最大值，我们可以通过下面的推导来得出：
由于对称性，我们可以假设x≤y≤z，得到：
xy+yz+xz = x(y+z) + y(z+x)
于是我们可以利用均值不等式，有 xy+yz+xz ≤ (x+y) (y+z)
代入常数xyz = 80 得 (x+y) / z ≥ 4
而 z 的最大值可以通过 xyz = 80 求得，即 z = 80/(xy)
所以， xy+yz+xz 的最大值为 4xy + 320/x
至此，我们得出了 xy+yz+xz 的最大值为 20/3，最小值为 4xy + 320/x。