Question

请帮我解一道题

已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和X轴，Y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数Y=1/2X的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上的任意一点,它的坐标是(a,b)，由点P向X轴Y轴所做垂线PM、PN(垂足分别为M、N)分别与直线AB相交与点E和点F。
（1）、设点E和F都在线段AB上，分别求E、F的坐标。
（2）、求OEF的面积。
（3）、AOF与BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明，如果不一定相似或一定不相似，请简要说明理由
（4）、当点P在曲线上移动时，OEF随之变动，指出在OEF的三个角中，大小始终保持不变的哪个角和它的大小，并证明你的结论。只需要3，4问答案。

Answer 1

这是1997年上海市的中考试题，原题如下：
已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F。
（1）设点E和F都在线段AB上（如图），分别求点E、F的坐标（分别用a、b的代数式表示点E、F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）；
（2）求出△OEF的面积（结果用a、b代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由；
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论。

图例：http://news.tenglong.net/photo/fsm/sxzn/20030304/82902/P5-1.gif

解析：（1）由EM/OB=AM/OA易得E点坐标为（a，1-a）；同理F点的坐标为（1-b，b）
（2）S△OEF=S△AOB-S△AOE-S△BOF=（a+b-1）/2
（3）△AOF与△BOE一定相似。理由如下：
由OA=OB=1，知∠OAF=∠EBO
由勾股定理求得BE=√2a，AF=√2b
∵P在y=1/2x的图象上，
∴b=1/2a，即2ab=1。从而得√2a·√2b=1×1。于是AF/BO=AO/BE
∴△AOF∽△BEO
（4）当点P在曲线上移动时，△EOF中∠EOF一定等于45°。理由如下：
∵△APR∽△BEO
∴∠AOF=∠BEO
而∠BEO=∠AOE+∠OAE，又∠AOF=∠EOF+∠AOE
∴∠EOF=∠OAE=45°

Answer 2

X=0

Answer 3

1+x≠0
则（1+x)^2+(1+x)+1-3(x+1)^4=0
X^2+2X+1+2+X=3(X+1)^4
X^2=3(X+1){(X+1)^3-1}
.=3（x+1){(x+1)-1}{（x+1)^2+1+(x+1)*(-1)}
=3(x+1)x({(x^2+x)
=x^2*3(x+1)(x+1)
所以X^2(3(X+1)^2-1)=0
X^2=0
活3（x+1)^2-1=0则x=0
或x=-1±1/3√3