Question

17.已知函数 f(x)=3sin2x+cos2x+3(1)求f(x)的单调递增区间及对称中心坐标

Answer 1

首先，我们考虑求解函数f(x)的单调性。对于三角函数的和，可以使用导数来判断其单调性，因此我们先求函数f(x)的导数f'(x)：

f'(x) = 6cos2x - 2 sin2x

f'(x) = 2(3cos2x - sin2x)

由于 -1 ≤ sin2x ≤ 1 和 -1 ≤ cos2x ≤ 1，因此可以得到：

-2 ≤ 3cos2x - sin2x ≤ 4

因此，当 3cos2x - sin2x > 0 时，f'(x) > 0，即f(x)在此区间上单调递增；当 3cos2x - sin2x < 0 时，f'(x) < 0，即f(x)在此区间上单调递减。因此，我们只需要求解 3cos2x - sin2x = 0 的解即可确定函数f(x)的单调性。

解方程 3cos2x = sin2x，即可得到：

tan2x = 3

化简得：

2x = arctan(3) + kπ 或 2x = π + arctan(3) + kπ，其中k是任意整数。

因此，可以得到函数f(x)的单调递增区间为：

[arctan(3)/2 + nπ/2, π/2 + arctan(3)/2 + nπ/2]，其中n为任意整数。

接下来，我们来求函数f(x)的对称中心坐标。对于函数f(x) = 3sin2x + cos2x + 3，考虑将 sin2x 和 cos2x 合并成类似于 sin(a+b) 和 cos(a+b) 的形式，这样就容易求解其对称中心坐标。

首先，将 f(x) 中的常数项提取出来，得到：

f(x) = 3(sin2x + cos2x) + 3

由三角恒等式 sin2x + cos2x = 1，可以将其代入得到：

f(x) = 3(1) + 3 = 6

因此，函数f(x)的对称中心坐标为 (0,6)。