Question

In(1-x^2)在区间(-1,1)上展开为幂级数是？

Answer 1

要将函数In(1-x^2)在区间(-1,1)上展开为幂级数，可以先将其变形为In(1+x) + In(1-x)，然后分别对两个函数使用泰勒公式展开。

对于In(1+x)，有：
In(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
在区间(-1,1)上收敛，因为当x=1时级数发散，当x=-1时，级数为交替级数，收敛到-ln2。

对于In(1-x)，有：
In(1-x) = -x - x^2/2 - x^3/3 - x^4/4 - ...
在区间(-1,1)上同样收敛，因为当x=-1时级数收敛到-ln2。

因此，将两个展开式加起来，即可得到In(1-x^2)的幂级数展开式：
In(1-x^2) = (x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...) + (-x - x^2/2 - x^3/3 - x^4/4 - ...)
= x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
在区间(-1,1)上收敛，因为当x=1或x=-1时，级数发散。