Question

2.求 F（z）=11z^3-15z^2+6z/(z-1)^2(z-2) 的Z反变换f(k)(8)

Answer 1

要求函数 F(z) = (11z^3 - 15z^2 + 6z) / [(z-1)^2 * (z-2)] 的 Z 反变换 f(k)(8)，我们需要使用留数定理和 Z 反变换的定义进行计算。
首先，我们将 F(z) 分解成部分分式的形式：
F(z) = A/(z-1)^2 + B/(z-1) + C/(z-2)
其中 A、B、C 是待定系数。
然后，通过通分的方式将 F(z) 转化为公共分母：
F(z) = [A(z-1)(z-2) + B(z-2) + C(z-1)^2] / [(z-1)^2 * (z-2)]
展开并整理得到：
F(z) = [(A + C)z^2 + (-2A - B - C)z + A] / [(z-1)^2 * (z-2)]
根据 F(z) 和分解后的表达式对应的系数相等，可以得到以下方程组：
A + C = 11
-2A - B - C = -15
A = 6
解以上方程组，我们可以得到 A = 6，B = 11 和 C = -5。
现在，我们回到原问题，计算 Z 反变换 f(k)(8)。根据 Z 反变换的定义，f(k)(8) 即为 F(z) 在 z = 8 时的值。
将 z = 8 代入 F(z)，得到：
f(k)(8) = [(A + C)z^2 + (-2A - B - C)z + A] / [(z-1)^2 * (z-2)]
= [(6 - 5)(8)^2 + (-2*6 - 11 + 5)(8) + 6] / [(8-1)^2 * (8-2)]
= [1*64 + (-12 - 11 + 5)*8 + 6] / [49 * 6]
= [64 - 72 + 40 + 6] / [294]
= 38 / 294
= 19 / 147
因此，Z 反变换 f(k)(8) = 19 / 147。