Question

线性方程组有解的充要条件是什么？

Answer 1

线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。即r(A,b)=r(A)对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。扩展资料：当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。[coolsou.c o m.cn]
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Answer 2

非齐次线性方程组 AX=b , A 是n阶方阵
有解 的充要条件是 R(A)=R(A,B)

当 |A| = 0 时, R(A)<n, 并不能说明 R(A,B) = R(A)
比如 (A,B)=
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 0 1
无解

而当 |A|≠0时, R(A)=n
必有 n=R(A)<=R(A,B)<=n, 即有 R(A,B)=n=R(A), 此时有解

推广: A为m*n 矩阵时, 若 R(A)=m, 则方程组AX=B 有解.
(即系数矩阵行满秩时方程组有解)