Question

如果a＞0，b＞0求证a+b分之2ab≤根号ab≤2分之a+b≤根号下2分之a方＋b方

要快
要详细过程

Answer 1

2ab/(a+b)<=√ab<=(a+b)/2<=√(a^2+b^2)/2

(a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]
两边平方
（a+b)^2/2<=a^2+b^2
0<=(a-b)^2/2
等式恒成立
所以(a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]

√(ab)<=(a+b)/2
两边同平方
ab<=(a+b）^2/4
0<=(a-b)^2/4
等式恒成立
所以√(ab)<=(a+b)/2

(2ab)/(a+b)<=√(ab)
两边同平方
4a^2b^2/(a+b)^2<=ab
两边同乘（a+b)^2
4a^2b^2<=ab(a+b)^2
4ab<=(a+b)^2
0<=(a-b)^2
等式恒成立
所以(2ab)/(a+b)<=√(ab)

综上，(2ab)/(a+b)<=√(ab)<=(a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]

Answer 2

a+b分之2ab≤根号ab 两边平方
4a^2b^2/(a+b)^2≤ab
4ab≤(a+b)^2
4ab≤a^2+2ab+b^2
0≤a^2-2ab+b^2
0≤(a-b)^2 所以得证

根号ab≤2分之a+b 两边平方
ab≤(a+b)^2/4
4ab≤(a+b)^2
4ab≤a^2+2ab+b^2
0≤a^2-2ab+b^2
0≤(a-b)^2 所以得证

2分之a+b≤根号下2分之a方＋b方 两边平方
（a+b）^2/4≤(a^2+b^2)/2
(a+b)^2≤2(a^2+b^2)
a^2+2ab+b^2≤2a^2+2b^2
0≤a^2-2ab+b^2
0≤(a-b)^2 得证

综合以上，得证

Answer 3

利用 a^2+b^2 >= 2ab
变形可以得到

Answer 4

利用均值不等式很快就可以证明，自己试试！

Answer 5

=365 =568