Question

问一道八上的数学题

已知，方程 x3-（2m+1）x2+（3m+2）x-m-2=0
（1）证明x=1是方程根
（2）把方程左边分解成（x-1）与x的二次三项式的积
（3）m为何值时，方程又有一个实数根

Answer 1

解：⑴把x=1代入原方程左边，得
13 –(2m+1)·12+(3m+2)1-m-2=1-2m-1+3m+2-m-2=0
故 x=1是方程的根；
⑵原方程变形为(x-1)[x2-2mx+(m+2)]=0
⑶若方程有两个等根，可能是1和1，则在
x2-2mx+(m+2)=0中，必有一个根为1，代入上列方程，得
12-2m·1+(m+2)=0 即m=3；
或者在 x2-2mx+(m+2)=0中就有两个等根，故
△=(-2m)2-4(m+2)=0
∴m=2或m＝-1

Answer 2

1)将x=1带入，1-（2m+1)+3m+2-m-2=0成立，所以可以证明。
2）因为知道x=1是方程的根，原式可写成（x-1)(ax^2+bx+c)=0 {1}
拆项并合并同类项，可得ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=0
x^3-(2m+1)x^2+(3m+2)x-(m+2)=0
一一对应
得a=1
b-a=-(2m+1)
c-b=3m+2
c=m+2
算出a,b,c,带入{1}即可
3)将x=-1带入，得
-1-(2m+1)-(3m+2)-(m+2)=0
得m=-1;

一元二次方程满足求根公式
b^2-4ac>=0
b^2-4c>=0;
树根是什么意思？
（2）
x^2-3x+1=0
x^2+1=3x
x+1/x=3

Answer 3

（1）原方程可经x³-2mx²-x²+（m+2）+2mx-(m+2)=0,从而原方程式可化简为(x-1)[x²-2mx+(m+2)]=0，显然xx=1是方程的根；
（2）由（1）可得(x-1)[x²-2mx+(m+2)]=0，或者可以用代入法求解，具体方法可以参考楼上的，即
“因为知道x=1是方程的根，原式可写成（x-1)(ax^2+bx+c)=0 {1}
拆项并合并同类项，可得ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=0
x^3-(2m+1)x^2+(3m+2)x-(m+2)=0
一一对应
得a=1
b-a=-(2m+1)
c-b=3m+2
c=m+2”
（3）依题意，方程还有一解，则题目可转化为求x²-2mx+(m+2)=0只有一解时m的值。
由方程的判别式可得 △=b²-4ac=4(m²-m-2)=4(m-2)(m+1)=0 ;
解得m=2或m＝-1 ，经验证，当m=2时，x=2,当m＝-1，x＝-1,无重根，符合题意。
所以，当m=2或m＝-1时，方程又有一个实数根。