Question

如何求两个圆的交点坐标？

Answer 1

要求两个圆的交点坐标，可以通过联立两个圆的方程并解方程组来实现。假设有两个圆的方程分别为：

圆1：(x - x1)² + (y - y1)² = r1²
圆2：(x - x2)² + (y - y2)² = r2²

其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别是圆心坐标，r1 和 r2 分别是两个圆的半径。

解方程组的步骤如下：

• 将两个圆的方程展开并整理，使得 x 和 y 的项分别系数相等。

• 将两个圆的方程相减，得到一个关于 x 和 y 的一元二次方程。

• 解二元二次方程，求出 x 的值。

• 将求得的 x 值代入其中一个圆的方程，求出对应的 y 值。

• 得到两个圆的交点坐标 (x, y)。

举例：
假设有两个圆的方程如下：

圆1：(x - 1)² + (y - 2)² = 4
圆2：(x - 3)² + (y - 4)² = 9

首先，将方程展开并整理：

圆1：x² - 2x + y² - 4y + 5 = 0
圆2：x² - 6x + y² - 8y + 16 = 0

然后，将两个方程相减，得到关于 x 和 y 的一元二次方程：

4x - 4y - 11 = 0

解这个方程，可以得到 x = (4y + 11) / 4。

将 x 值代入圆1的方程，得到：

((4y + 11) / 4 - 1)² + (y - 2)² = 4

整理后，得到关于 y 的一元二次方程：

17y² + 2y - 4 = 0

解这个方程，得到两个 y 值：y ≈ -0.354 和 y ≈ 0.236。

将这两个 y 值代入 x = (4y + 11) / 4，分别得到对应的 x 值。

所以，两个圆的交点坐标为：
交点1：(x ≈ 1.486, y ≈ -0.354)
交点2：(x ≈ 2.964, y ≈ 0.236)