Question

为了测量河对岸A、B两点间的距离,在河的这边选取相距根号3km的C、D两点,测得∠ACB=75°，∠DCB=45°

为了测量河对岸A、B两点间的距离,在河的这边选取相距根号3km的C、D两点,测得∠ACB=75°，∠DCB=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D杂同一平面内，如图），求A、B两点间的距离。

Answer 1

连接CD，根据已知条件和三角形内角和等于180°，很好判断得知
∠CAD=30°，∠CBD=60°，∠ACD=120°，
在△CAD、△CBD中
AD/sin∠ACD=CD/sin∠CAD，CD/sin∠CBD=BD/sin∠DCB，
AD=CD*sin∠ACD/sin∠CAD=√3*sin120°/sin30°=√3*(√3/2)/(1/2)=3(km)，
BD=CD*sin∠DCB/sin∠CBD=√3*sin45°/sin60°=√3*(√2/2)/(√3/2)=√2(km)。
在△ABD中
AB^2=AD^2+BD^2-2AD*BD*cos∠ADB=3^2+(√2)^2-2*3*√2*cos45°
=9+2-6√2*√2/2
=11-6=5
AB=√5(km)
所以A、B两点间的距离√5km。