Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的直线交OA延长线于点

且RP＝RQ
(1）求证：直线QR是⊙O的切线；(2）若OP＝PA＝1，试求RQ的长。

Answer 1

(1)连接OQ，
因为RP=RQ
所以∠RQP=∠RPQ=∠OPB，
因为BO=OQ，
所以∠OQB=∠OBQ
因为∠AOB=90° ，
所以∠OPB+∠OPQ=90°，
则∠OQR=∠OQB+∠RQP=∠OBP+∠OPB=90°，
所以直线QR是⊙O的切线;
(2)因为OP=PA=1，
所以OA=OQ=2，
设RQ=RP=x，则OR=x+1，
在Rt△ROQ中，x^2+4=(x+1)^2，
解得x=3/2 ，即RQ的长3/2.

Answer 2

在图中，连接OQ

∵RP＝RQ  ∴⊿PRQ是等腰三角形，∠RPQ=∠RQP

∵∠OPB=∠RPQ  ∴①∠RQP=∠OPB

∵OA⊥OB，P是OA上任一点  ∴⊿BOP是直角三角形，故②∠OBP+∠OPB=90度

∵Q是⊙O上的一点  ∴OB＝OQ=半径，⊿BOQ是等腰三角形，故③∠OBQ=∠OQB 

由①、②、③得到∠OQB+∠RQP=90度，即RQ⊥OQ，且Q是⊙O上的一点

得解(1)：直线QR是⊙O的切线

∵OP＝PA=1，而OP+PA=半径=OB=2，OP⊥OB  ∴tan∠OBP=OP/OB=1/2

∵⊿QOB是腰为半径的等腰三角形，且∠POB=90度

∴∠QOR=∠QOB-90度=180度-2∠OBQ-90度=90度-2rtan(1/2)

RQ=OQ*tan∠QOR=OQ*tan(90度-2rtan(1/2))=2*cot(2rtan(1/2))=2/tan(2rtan(1/2))

    =2/(2tan(rtan(1/2))/[1-(tan(rtan(1/2)))^2])

    =(1-(1/2)^2)/(1/2)=2*(3/4)=3/2=1.5

得解（2）