Question

数学求解（具体过程）

如图，AD,BE,CF是△ABC的三条高，证明AD,BE,CF必定相交于一点(即垂心).(提示：过A,B,C分别作对边的平行线，说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线）

Answer 1

用内心来证明

如图

作ML‖BC

MN‖AC

LN‖AB

因为BE⊥AC

所以BE⊥MN

同理有

FC⊥LN

AD⊥ML

可知四边形ABCN为平行四边形

又

∠BCN=∠ABC

∠MAB=∠ABC

则∠BCN=∠MAB

则

△MAB≌△BCN

即MB=NB

即

EB为MN边的垂直平分线

同理可证得其它两条都为相应边的垂直平分线

给大三角画个外切圆

它的三个边都是圆的弦

根据定理：弦的垂直平分线都交于圆点

可知FC,BE,AD交于同一点

Answer 2

设BE、CF交于一点为H，连接AH并延长到BC于D"
H为BE、CF、AD"交点.

BE⊥AC，CF⊥AB.
则A、F、H、E四点共圆, ∠BCF=∠BEF,
B、F、E、C四点共圆 ∠AHF=∠AEF， 而∠AHF=∠CHD"
另∠AEF+∠FEB=90°, 代上各式,有∠BCH+∠CHD"=90°.
也即AD"⊥BC
AD为△ABC的高,AD⊥BC,
所以:AD与AD"重合!
AD、BE、CF必定相交与一点!