Question

一道关于求高中数列前N项和的题目

通项公式为 1/ n（n+2）的数列，求其前N项和。我知道 可以裂项相消。原式可以化成1/2 ( 1/ n - 1/ n+2) 但是接下来怎么求呢 知道有点麻烦，拜托写个详细的步骤~

Answer 1

1/ n（n+2)=(1/2)[1/n-1/(n+2)]
1/(1*3)+1/(2*4)+1/(3*5)+....+1/[n*(n+2)]
=(1/2)[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+...+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]
=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=(3n^2+5n)/(4n^2+12n+8)

Answer 2

1/n(n+2)=1/2*(1/n-1/(n+2))
然后从第一项写到第n项：左边不写了，就是n项的和，右边是：
1/2*(1/1-1/3)
1/2*(1/2-1/4)
1/2*(1/3-1/5)
....
1/2*(1/(n-1)-1/(n+1))
1/2*(1/(n)-1/(n+2))
然后隔项可以相消，前面剩两项，后面剩两项
就是Sn=1/2*(1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))
两合并化简就行了。

Answer 3

就是将n分为奇偶数讨论

an＝ 1/ n（n+2）=1/2 ( 1/ n - 1/ n+2)
a1＝1/2 ( 1 - 1/3) a2＝1/2 ( 1/2 - 1/ 4)
a3＝1/2 ( 1/ 3 - 1/5) a4＝1/2 ( 1/ 4- 1/ 6)
……
n为偶数时，n－1为奇数
a(n－1)＝1/2 ( 1/ (n -1)- 1/ (n+1)) an=1/2 ( 1/ n - 1/ (n+2))
Sn=1/2(1-1/ (n+1)) +1/2(1/2-1/(n+2))=n/2[1/(n+1)+1/2(n+2)]

n为奇数时，n－1为偶数
an=1/2 ( 1/ n - 1/ (n+2)) a(n－1)＝1/2 ( 1/ (n -1)- 1/ (n+1))
Sn=1/2(1-1/ (n+2)) +1/2(1/2-1/(n+1))=1/2[(n+1)/(n+2)+(2n+1)/2(n+1)]

Answer 4

其实这道题你已经做出来了。
现在可以将n分为奇偶数讨论

an＝ 1/ n（n+2）=1/2 ( 1/ n - 1/ n+2)
a1＝1/2 ( 1 - 1/3) a2＝1/2 ( 1/2 - 1/ 4)
a3＝1/2 ( 1/ 3 - 1/5) a4＝1/2 ( 1/ 4- 1/ 6)
……
n为偶数时，n－1为奇数
a(n－1)＝1/2 ( 1/ (n -1)- 1/ (n+1)) an=1/2 ( 1/ n - 1/ (n+2))
Sn=1/2(1-1/ (n+1)) +1/2(1/2-1/(n+2))=n/2[1/(n+1)+1/2(n+2)]

n为奇数时，n－1为偶数
an=1/2 ( 1/ n - 1/ (n+2)) a(n－1)＝1/2 ( 1/ (n -1)- 1/ (n+1))
Sn=1/2(1-1/ (n+2)) +1/2(1/2-1/(n+1))=1/2[(n+1)/(n+2)+(2n+1)/2(n+1)]

1/2[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+````1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]前面从1/3开始抵消 剩下1和1/2两项，那么后面也对应的剩下了两项，1/(n+1),1/(n+2),所以原式=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)] 最后一步很简单了

就是Sn=1/2*(1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))
两合并化简就行了。

祝福愉快。

Answer 5

=1/2[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+````1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]前面从1/3开始抵消 剩下1和1/2两项，那么后面也对应的剩下了两项，1/(n+1),1/(n+2),所以原式=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)] 最后一步很简单了