Question

数学导数问题（求详解）

1. f(x)=x^3+px^2+qx图像与x轴切于非原点的一点，且极小值为-4. 求p，q。
2.f(x)=(1+x/1-x)e^(ax). 对于任意x属于（0，1），恒有f(x)大于1.求a范围
3.lim (f(x+Δx)-f(x-Δx))/2Δx 为f(x)的导数还是1/2f(x)的导数？

Answer 1

1,由于过切点的切线方程斜率为零时导数为零，极值点处的导数也为零。
所以 f'(x)=3x^2+2px+q=0 （1--1）
的两个根x1和x2分别满足，
f(x1)=0;
f(x2)=-4
结合（1--1）消去三次方得，
p/3(x1)^2+2q/3(x1)=0
由于x1≠0，
所以 x1=-2q/p
代入式(1--1)可得，4q=p^2
x1=-p/2 ；x2=-p/6
又因为，p/3(x2)^2+2q/3(x2)=-4
将x2=-p/6;4q=p^2代入得，
-2p^3/108=-4
解之得p=6,q=p^2/4=9

2，令g(x)=lnf(x)=ln(1+x/1-x)+ax
即求当x属于（0，1），恒有g(x)大于0.
g'(x)=(1-x)/(1+x)*2/(1-x)^2+a=2/(1-x^2)+a=(a+2-ax^2)/(1-x^2)
(1)，若g(x)在(0,1)有最小值，则，a+2-ax^2=0，在(0,1)上有解
则必有，0<(a+2)/a<1，即a<-2。
此时，x0=√[(a+2)/a]，最小值点，g(√[(a+2)/a])=ln[-a-1+√a(a+2)]-√a(a+2)
令m(a)=g(√[(a+2)/a])，则
m'(a)=[-1+(a+1)/√a(a+2)]/[(-a-1+√a(a+2)]-(a+1)/√a(a+2)
=-1/√a(a+2)-(a+1)/√a(a+2)=-(a+2)/√a(a+2)>0
可知当a<-2时，g(√[(a+2)/a])=m(a)<m(-2)=0恒成立。
即此时存在点x0属于(0,1)使f(x0)<1，所以a<-2时不符合题意。
(2)，当a≥-2时，g'(x)≥0恒成立
则g(x)在x属于(0,1)时单调递增，
g(x)的最小值为，g(0)=0，此时f(x)>f(0)=1，符合题意.
又因为，a=0时，在定义域上，f(x)=(1+x/1-x)>1恒成立。
所以a的取值范围为，a≥-2

3，这是f(x)的导数。
lim (f(x+Δx)-f(x-Δx))/2Δx =lim (f(x+Δx)-f(x)+f(x)-f(x-Δx))/2Δx
=[lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx +lim (f(x)-f(x-Δx))/Δx]/2=[f'(x+) +f'(x-)]/2
明显是求f(x)的左导数和右导数和的一半，也就是左右导数的平均数。