Question

已知x²+y²+z²=1，x+y+z=√3，则请问x、y、z是否有解，如有，请解出。

Answer 1

x²+y²+z²=1是球心(0,0,0)半径1的球面
x+y+z=√3 是x,y,z截距都是√3的平面 (0,0,0)到x+y+z=√3的距离=|0+0+0-√3|/√(1²+1²+1²) =1
=> x+y+z=√3是球的切面 =>(x,y,z)只有一解(切点)
=>(x²+y²+z²)*(1²+1²+1²)≥(x+y+z)² 等号成立 => x:y:z=1:1:1 => x=y=z=(√3) /3
=>(x,y,z)=(√3/3,√3/3,√3/3).......ans

Answer 2

∵x+y+z=根号3
∴z=根号3-x-y
由x2+y2+z2=1得:
x2+y2+(根号3－x－y)^2= 1
x2+y2+3+x2+y2-2根号3x-2根号3y+2xy=1
整理成关于y的一元二次方程得
2y^2－2(根号3－x)y+2x^2－2根号3x+2 =0
Δ=4(根号3－x)^2－4×2(2x^2－2根号3x+2 )
=4[3-2根号3x+x^2-4x^2+4根号3x-4]
=4[-3x^2+2根号3x-1]
=-4[根号3 x-1]^2<=0
当根号3X-1=0时，有唯一解。
即X=根号3/3。同理解得Y=Z=根号3/3
所以，有唯一解，是X=Y=Z=根号3/3

Answer 3

xy+yz+xz
=1/2[(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2]=1
因为
xy+yz+xz<=x^2+y^2+z^2=1

所以：x=y=z,=√3/3

Answer 4

x2+y2+z2=1 ......①
x+y+z=√3 ......②
②^2-①,得
xy+yz+xz=1 ......③
①x2-③x2,得
(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0 .......④
由④式可推出
x=y=z，代入①或者②
即可解得
x=y=z=√3/3

Answer 5

已知x=(根号8)-( 根号7)/(根号8)+(根号7),
分子分母同时乘以(根号8)-(根号7),
则x=((根号8)-(根号7))^2/((根号8)+(根号7))*((根号8)-(根号7))
=((根号8)-(根号7))^2/(根号8)^2-(根号7)^2
=((根号8)-(根号7))^2
y=(根号8)+(根号7)/(根号8)-(根号7)
分子分母同时乘以(根号8)+(根号7）
则y=((根号8)+(根号7))^2/((根号8)-(根号7))*((根号8)+(根号7))
=((根号8)+(根号7))^2/(根号8)^2-(根号7)^2
=((根号8)+(根号7))^2
求x+y+2(根号xy)/(根号x)+(根号y)
=（(根号x)+(根号y)）^2/(根号x)+(根号y)
=（根号x）+（根号y）
=(根号8)-(根号7)+(根号8)+(根号7)
=2*（根号8）
=4*(根号2)

Answer 6

x²+y²+z²=1为半径为1的球面。x+y+z=√3为平面方程。从该平面到坐标原点的最短距离为1。所以有唯一解x=y=z=√3/3