Question

问一道数学题，要详解 已知点A(2,2)、P(x,y),且x,y满足：0<x,y≤2,x+y≥2,1/x+1/y≥2 求PA长度的取值范围

Answer 1

0<x,y≤2 0<x≤2 0<y≤2 0<x+y≤4
x+y≥2
2≤x+y≤4
1/x+1/y≥2 x+y≥2xy
PA=√（x-2)²+（y-2)²=√(x²+y²-2(x+y)+4)=√(x+y)²-2(x+y)-2xy+4)≤√(x+y)²-3(x+y)+4)=√(x+y-3/2)²+7/4)
则PA最大值为2√2 最小值为√2

Answer 2

此类题目
第一步，应该根据题目在草稿纸上画图。
第二步，标出相交点。
第三步，就是看图。
实际上画图也是计算过程。
直线x+y=2与曲线1/x+1/y=2相交于点M（1，1），曲线1/x+1/y=2与X=2相交于点R（2，2/3）
因为图形关于X=Y对称，所以只需研究一边。
有图可知，要使PA最短，P点必在曲线1/x+1/y=2，得：2xy=x+y，
又因为x+y≥2，所以xy≥1。
PA=√（x-2)²+（y-2)²=√(x²+y²-2(x+y)+4)=√(x+y)²-2(x+y)-2xy+4
=√4x2y2-4xy-2xy+4=√4(xy-3/4)2+7/4
因为xy≥1，所以当且仅当xy=1时，PA最短。即，PA为根号2。
要使PA最长，点P在直线x+y=2。
由图可知，当点P(2，2）时，PA最长为2.